a living organism は「一つの生きている生物・生き物」を表します。organism は「生物」という可算名詞で、a は特定していない一つを示します。
living は名詞の前に置き、「現在生きている」という性質を加える形容詞です。a の直後に形容詞があっても、冠詞は名詞句全体の先頭に置きます。
living の最初の音は /l/ なので、an ではなく a living organism です。単数なら a living organism、複数なら living organisms とします。
organism だけでも生物を表せますが、living を置くと非生物との対比や「生きている個体」を強調できます。
科学・医学・環境の説明で特に自然で、日常的には a living thing もよく使います。生物の存在を証拠から慎重に判断する場面にも使えるチャンクです。